Category Archives: MaTh

February 4, 2008

NTU Entrance Test

Nah,, berhubung aku gak ikut NTU Entrance test nanti.. 😥

[karena gak diijinkan abangku tercinta,, dan karena Jakarta lagi musim banjir ]

Kali ini aku mau coba telaah 1 soal NTU (sampel sih..)

[You can find out the sample entrance test in here]

Aku cuma terkejut karena soal ini memuat bilangan kompleks,, dimana sluruh anak SMA di Indonesia pasti gak pernah temui…(apakah ini berarti tingkat pendidikan SMA di Singapore lebih baik??)

The problem::

Use the relationship $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ to express $\cos{5\theta}$ in terms of $\cos{\theta}$ . Hence show that $x=\cos{\frac{\pi}{10}}$ is a root of the equation $16x^4-20x^2+5=0$

Solution (sorry if I’m mistaken..):

The relationship would be like this: $e^{ip}=\cos{p}+i\sin{p}$

So,, if we put $p=n\theta$ $\rightarrow e^{in\theta}=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}$

The full relationship will be like this::

$e^{in\theta}= e^{(i\theta)n}=(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}$

Taking $n=5$ we have:

$(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^5$ $=\cos{5\theta}+i\sin{5\theta}$

The binomial Newton’s theorem says: $(x+y)^n= \sum_{k=0}^n C_k^n x^k \cdot y^{n-k}$

So,, we can expand $(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^5=\sum_{k=0}^5 C_k^5 (\cos{\theta})^k \cdot (i\sin{\theta})^{5-k}$ (C=combination)

Generally $i$ is defined as $i=\sqrt{-1} \rightarrow i^2=-1;i^3=-i;i^4=1;i^5=i$

Thus,,

$\cos{5\theta}+i\sin{5\theta}$

That’s why::

$\cos{5\theta}=\cos^5{\theta} +5\sin^4{\theta}\cdot \cos{\theta}-10\sin^2{theta}\cdot \cos^3{\theta}$

$\sin{5\theta}=\sin^5{\theta}+ i\sin{\theta}\cdot \cos^4{\theta} -10i\sin^3{\theta}\cdot \cos^2{\theta}$

$\sin^2{x}=1-\cos^2{x}$

$\cos{5\theta}$

$=\cos^5{\theta} +5\sin^4{\theta}\cdot \cos{\theta}-10\sin^2{\theta}\cdot \cos^3{\theta}$

$=\cos^5{\theta} +5(1-\cos^2{\theta})^2\cdot \cos{\theta}-10(1-\cos^2{\theta}\cdot \cos^3{\theta}$

$=\cos^5{\theta}+5(1-2\cos^2{\theta}+cos^4{\theta})\cdot \cos{\theta}-10\cos^3{\theta}+10\cos^5{\theta}$

$=\cos^5{\theta}+5\cos{\theta} -10\cos^3{\theta}+5\cos^5{\theta} -10\cos^3{\theta}+10\cos^5{\theta}$

$=16\cos^5{\theta}-20\cos^3{\theta}+5\cos{\theta}$

Or we can rewrite like this:

$\cos{5x}=\cos{x }(16\cos^4{x}-20\cos^2{x}+5)$

By putting $x=\frac{\pi}{10}$ we have

$\cos{\frac{\pi}{2}}=\cos{\frac{\pi}{10}}(16\cos^4{\frac{\pi}{10}}-20\cos^2{\frac{\pi}{10}}+5)=0$

As $\cos{\frac{\pi}{10}}\not = 0$ we may conlude that $x=\frac{\pi}{10}$ is the root of $16x^4-20x^2+5=0$

Thanks for your attention (ありがとう)

10 Comments | posted in MaTh, Science..

January 10, 2008

Math Jokes…

By mhar_teens

Wah,, akhirnya bisa toolbar-nya… 😀

ternyata setelah liat2 di FAQ…the problems are solved..! 🙂

3 Comments | posted in Humor.., MaTh, Photos.., Science..

January 5, 2008

soal UAS-1 Kalkulus ITB 2007

By mhar_teens

1) Gunakan konsep diferensial untuk mengaproksimasi nilai $e^{-0,1}$

2) Tentukan persamaan garis singgung terhadap kurva $x\ln{y}+3^xy-1=0$ di titik dengan absis 0

3) diberikan fungsi $f(x)=\frac{1}{k}\tan^{-1}(x)+\tan^{-1}(kx)$ dengan $k$ konstanta, Tentukan nilai $k$ jika $f'(0)=2$

4) diketahui fungsi $f(x)=\int \sqrt[3]{t(1+t^2)} dt$
Tentukan interval terbesar $I$ yang memuat titik $-1$ sehingga $f$ mempunyai invers!

5) Diberikan sebuah segitiga siku2 $KLM$ yang panjang sisi-sisinya $3,4,5$ cm. Di dalam segitiga tersebut dibuat persegi panjang $ABCD$ dengan sebuah sisinya (yakni $AB$ ) berada pada sisi $KLM$ yang $5$ cm (sorry aku gak sempat buat gambarnya. Misalkan $AB=x$
a. Tunjukkan bahwa luas persegi panjang tersebut $L=\frac{12}{5}x-\frac{12}{25}x^2$
b. Tentukan nilai $x$ agar luas persegi panjang tersebut maksimal.

6) diberikan sebuah daerah tertutup yg dibatasi oleh grafik $y=\sqrt{x}$ , sumbu $x$ , dan garis lurus yang melalui titik $(4,2)$ dan $(6,0)$ . tentukan volume yang terbentuk bila daerah yang dimaksud diputar terhadap garis $x=-1$ !

7) Hukum perbandingan Newton menyatakan “laju perubahan temperatur sebuah objek berbanding lurus terhadap perbedaan antara temperatur objek tersebut dengan temperatur lingkungannya”. Sepotong besi yang temperaturnya $Q(0)=100^oC$ diletakkan pada sebuah ruangan yang temperaturnya konstan $P$ (keberadaan besi tidak mengubah temperatur ruangan). Sesudah $5$ menit, $Q(5)=40^oC$ dan sesudah $10$ menit $Q(10)=16^oC$ . Tentukan temperatur ruangan tersebut…

Lihat pembahasan di forum

thanks 🙂

15 Comments | posted in MaTh

November 11, 2007

Integral from Kyoto University Entrance Test

By mhar_teens

Wow,, this is one of a great integral for university entrance test…
I wanna post this because my calculus class just discussed the same kind of the problem

For $0<x<1$ , let $f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$

Find $\frac{d}{dx}f(\sqrt{1-x^2})$

Find $f(\frac{1}{\sqrt{2}})$

Prove that $f(x) + f(\sqrt{1-x^2})=\frac{\pi}{2}$

I think the solution will be like this…
We have one foundation in calculus:: $\frac{d}{dx} \int_c^x f(t)dt = f(x)$
As $f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$ we know that

$f(\sqrt{1-x^2})=\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$

Following the chain rule,, we have (I change $\frac{d}{dx}$ into $D_x$ )
$D_x[f(\sqrt{1-x^2})]= D_{\sqrt{1-x^2}} [\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt] D_x(\sqrt{1-x^2})$

$D_x[f(\sqrt{1-x^2})]= \frac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}} \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$D_x[f(\sqrt{1-x^2})]= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

Following the foundation of calculus,, we can take
$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$
We can substitute $t=\sin{\theta}\rightarrow dt=\cos{\theta}d{\theta}$
As $\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt2}$ and $\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{1}{\cos{\theta}}$
So,, the integration will be like this::
$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos{\theta}}{\cos{\theta}}d{\theta}$
$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$

I actually don’t know how to generalize this,, but I found something unique…
As $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ we have $\sqrt{1-x^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ too
So,, I think we can prove it by put $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$
We have $f(\frac{1}{\sqrt{2}}) + f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{2}$
Sorry for this bad prove

[As information,, Kyoto University is the 2nd best university in Japan (after Tokyo University). But I think Kyoto University has more peaceful place to study]

Tes Logika (gak bener2 amat sih…^_^)

By mhar_teens

(dari blog-ku di Friendster)

============================

Simaklah baik-baik setiap pertanyaan di bawah ini…!

Tulis setiap jawaban Anda pada tempat yang tersedia (di mana Martin!? *wah,, bingung juga nih…sorry… I do not prepare you an interactive form..). Anda hanya diizinkan 15 (lima belas) menit untuk menyelesaikan seluruh test ini.

Tolong jangan liat kunci jawaban sebelum Anda menjawab semua…!

Anda SIAP ?

JAM berapa sekarang ?

MULAI !

1. Beberapa nama bulan memiliki 30 hari. Beberapa nama bulan lainnya memiliki 31 hari. Berapa nama bulan yang memiliki 28 hari?

2. Jika dokter memberikan Anda 3 tablet dan setiap tablet harus diminum setiap jam, berapa lama waktu yang Anda butuhkan sehingga semua tablet dapat diminum?

3. Anda mulai tidur pada pukul 8 malam dan menyetel jam weker untuk berdering pukul 9 pagi. Berapa lama Anda tertidur sebelum terbangun oleh deringan weker?

4. Seorang pria membangun sebuah rumah persegi-panjang dengan keempat dindingnya menghadap selatan. Seekor beruang besar masuk rumah tersebut. Apa warna beruang tersebut?

5. Jika Anda hanya memiliki sebuah korek api dan memasuki sebuah ruangan DINGIN dan GELAP dimana disana terdapat sebuah sebuah pemanas minyak, lampu minyak dan sebuah lilin, manakah yang akan Anda nyalakan duluan?

6. Sebuah kelas terdiri dari 40 siswa. Diantaranya 20 siswa menyukai pelajaran Matematika,15 orang menyukai pelajaran Biologi, 15 orang menyukai pelajaran Bahasa Inggris dan lima orang menyukai ketiganya. Banyaknya siswa yang hanya menyukai satu dari ketiga pelajaran adalah?(Tidak ada yg tidak suka apa2)

7. Iwan selalu berbohong pada hari Senin, Selasa, Rabu dan berkata jujur pada hari-hari lainnya. Di lain pihak Budi selalu berbohong pada hari Kamis, Jumat, Sabtu dan berkata jujur pada hari-hari lainnya.

Pada suatu hari terjadi percakapan berikut:

Iwan: Kemarin saya berbohong

Budi: Saya juga

Pada hari apa percakapan tersebut terjadi?

8. Dimas membeli majalah setiap 5 hari sekali, sedangkan Andre membeli majalah setiap 8 hari sekali. Kemarin Dimas membeli majalah. Andre akan membeli majalah besok. Keduanya paling cepat akan membeli majalah pada hari yang sama . . . hari lagi.

9. Di antara lima orang gadis, Arinta, Elsi, Putri, Rita, dan Venny, dua orang memakai rok dan tiga orang memakai celana panjang. Arinta dan Putri memakai jenis pakaian yang sama. Jenis pakaian Putri dan Elsi berbeda, demikian pula dengan Elsi dan Rita. Kedua gadis yang memakai rok adalah . . .

10. Bando dan Bandi ingin mengecat pagar. Bando dapat menyelesaikan pengecatan pagar oleh dirinya sendiri dalam waktu 3 jam, sedangkan Bandi dapat menyelesaikannya dalam 4 jam. Pada pukul 12.00 siang mereka mulai mengecat pagar bersama-sama. Akan tetapi pada suatu ketika mereka bertengkar. Mereka bertengkar selama 10 menit dan dalam masa itu tidak satupun yang melakukan pengecatan. Setelah pertengkaran tersebut Bandi pergi dan Bando menyelesaikan pengecatan pagar sendirian. Jika Bando menyelesaikan pengecatan pada pukul 14.25, pada pukul berapakah pertengkaran dimulai ?

————–

Perintah Test Logika: Jika waktunya belum 15menit periksalah kembali jawaban Anda. Jika sudah 15 menit, letakkan alat tulis Anda. Periksalah jawaban Anda di atas dengan kunci jawaban yang benar di bawah ini. Ingat, JANGAN nyontek! SEMOGA ANDA BERUNTUNG!

Scroll ke bawah untuk melihat kunci jawaban yang benar.

Ke bawah lagi.

Jawaban :

———-

Semuanya (12 bulan). Setiap bulan memiliki paling sedikit 28 hari.
2 jam (Baca soal baik2…!). Jika Anda minum tablet pertama pukul 7 pagi, tablet kedua harus diminum pukul 8 pagi dan tablet ketiga (terakhir) harus diminum pukul 9 pagi. Karenanya, seluruhnya memerlukan waktu 2 jam.
1 jam. Jam weker akan berdering pukul 9 malam karena weker tidak bisa membedakan waktu-pagi dan waktu-malam.
Putih. Jika semua dinding menghadap Selatan, maka rumah tersebut berada di Kutub Utara. Semua beruang di kutub utara berwarna putih.
Korek api.
25 (kalo aku gak salah hitung…^_^) **aku pake prinsip himpunan**
Kamis… pada saat percakapan itu Iwan jujur sedangkan Budi berbohong
9 hari lagi…
Elsi dan Venny
aku cek kayaknya pukul 13.00… gunakan prinsip pengerjaan seperti menempuh suatu jarak (misal x)… jadi kecepatan Bando adalah x/3,, dan kecepatan Bandi x/4… dan mereka bekerja bersama-sama t jam…”selanjutnya!? *terserah Anda ^_^

Sekian dulu post aku ini,, semoga dapat bermanfaat…

Thanks for reading and giving comment(s)

Best regards,

Martin

1 Comment | posted in MaTh

November 4, 2007

Beberapa soal UTS I (kalkulus) ITB thn 2007

By mhar_teens

Beberapa soal UTS I (kalkulus) ITB thn 2007

nomor 1

carilah semua bilangan real $x$ yang memenuhi $x-2<\sqrt{2}$

nomor 2

tentukan $\lim_{x\to{0}}x^4cos^2(\frac{1}{x})$

nomor 3

diketahui $h(x)=\frac{x^2+2x+1}{3x-4}$ dan $f(x)=\frac{x^2}{3x-7}$

a. tentukan fungsi $g$ sehingga $h=fog$

b. tentukan $h'(0)$

nomor 4

diberikan fungsi $y$ yang dapat diturunkan dua kali,, memenuhi $y^2\sin{x}=1$ dan $y(\frac{\pi}{6})=\sqrt2$

a. tentukan $y'(\frac{\pi}{6})$

b. tentukan $y''(\frac{\pi}{6})$

[syukur nilaiku lumayan. Tapi aku bener2 gak terima pas dosenku ngurangin jawabanku untuk soal nomor 3…padahal aku udah mati2an nyari kedua fungsi $g$ yg mungkin. Dan dia enak banget mengatakan bahwa fungsi $g$ kamu belum terbukti benar. Ya sudahlah,, males untuk memprotesnya]

Oh,,iya…ini soalnya udah pernah dibahas di sini

4 Comments | posted in MaTh